首先，回顾一下上一篇文章
在上一篇文章里，我们从函数基的角度出发，自己设置了一个理论：所有的单输入单输出函数可以被视作一个无穷维度的向量
我们通过向量点积，类推了函数点积，从而分析了傅里叶变换如何收敛，如何存在，又有何意义。
从各种角度上来讲，傅里叶变换的发明非常重大；不过呢，傅里叶变换存在很多很多的缺点，这些缺点迫使了接下来众多积分变换的发明。
别急别急，马上我会向你讲述一下到底发生了什么事情，逼得大家必须制造新的变换工具。
无法收敛的傅氏变换
前文中提到了，傅里叶变换想要存在，必须要满足几大条件，即狄利克雷条件：
简单来说：（1） 有限间断点；（2）有限驻点；（3）绝对可积
事实上，在我们工科处理的各种情况中，前两种情况基本遇不到（但对数学还是很重要）。
在前文中，我们通过无限维内积的收敛性，证明了傅里叶变换中很重要的绝对可积要求的来源。只要原函数f(t)是绝对可积的，那么傅里叶变换就能顺利存在。
然而，要让一个时域上的函数绝对可积，真的那么简单吗？
我们来看几个最常见的函数，它们是否适配傅里叶变换。
首先，指数函数：可以看到，对于最简单的e^{x}，其在数轴的正端是不收敛的，但负端是收敛的；而对于e^{-x}，则恰恰相反。
因此，可以得出结论：\int_{-\infty }^{\infty} e^{-x}=\infty但\int_{0}^{\infty} e^{-x}dx=1=C。可以看到，虽然指数函数在全域上不收敛，但是在指数部分小于0的半轴上是能够做到无穷收敛的。因此，无法完整地对指数函数做傅里叶变换，只能部分截取。
接下来，三角函数（Sine）：我们知道，三角函数可以做不定积分
\int sin(x)dx=-cosx+C但这并不意味着三角函数就可以被进行傅里叶变换了！事实上，不定积分存在并不代表全域可积，我们能够很简单的看到一个事实——这个不定积分在无穷远处的值是振荡的
\lim_{x \to \infty } -cos(x)+C=?也就意味着
\int_{-\infty }^{\infty} sin(x)dx=?显然，由此三角函数无法被进行傅里叶变换。如果你接受广义函数存在的话，那么此时通过截取一个周期，积分变换的结果其实可以用广义函数\delta (x)表达出来。
再来，幂函数：首先，我们可以排除幂次是偶数的幂函数了，他们在任意半轴的积分都不会是收敛的。其次，如果一个奇次幂的幂函数不过原点，它也无法被傅里叶变换。因为它仍然不满足全域可积！
例如图中的f(x)=4x+4：
\int_{-\infty }^{\infty }4x+4dx=\int_{-\infty }^{\infty }4xdx+\int_{-\infty }^{\infty }4dx= 0+\int_{-\infty }^{\infty }4dx=0+\infty =\infty毫无悬念地发散了，这样一个小学二年级就学过的函数居然也没法被积分变换！你这傅里叶变换也太拉了吧！🤯
一定有哪里不对！
我们之前的理论说了：所有的单输入单输出函数可以被视作一个无穷维度的向量。既然是向量，那么理所当然地可以被分解为一组基向量。
傅里叶变换，便是在希尔伯特空间中，找到组成目标函数的基向量的所有组分，并给出他们的权重。
就像一个向量\vec{a}=\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\}，可以被一组对应n维空间中的单位正交基向量分解：
\begin{cases}\vec{n}_{1}=\{1, 0,…0\}\\\vec{n}_{2}=\{0, 1,…0\}\\…\\\vec{n}_{n}=\{0, 0,…1\}\end{cases} \vec{a}=a_{1}\vec{ n_{1}}+a_{2}\vec{ n_{2}}+…+a_{n}\vec{ n_{n}}而我们的函数可是处在无穷维度的希尔伯特空间下啊，怎么可能会无法被傅里叶变换所分解为基函数呢！一定是我们的操作出了问题。
好吧，那么让我们来重新理一下我们干了什么。
在傅里叶变换里，我们令g(x)为e^{-jwt}，然后用它对原函数f(t)进行函数点积操作，以此来评判f(t)与e^{-jwt}的相似度。但我们尝试过了所有的e^{-jwt}，我们也就知道了f(t)的所有频率组分。而这些频率组分，就像基向量组成任意向量一样，是一个个基函数组成了任意函数。
等等，我们发现了一个问题。
我们通过傅里叶变换，将函数与所有频率的傅里叶因子e^{-jwt}做了比较。我们获取了它的所有频率组分！
但是！但是！你是否有想过，希尔伯特空间是无穷维度的。在这无穷无尽的维度中，是否存在一些没有频率成分的维度呢！
如果这些函数中，有那么一部分，它不是由频率成分组成的，你又怎么能用频率成分去比较它呢。
非常好！我们发现了第一个问题！
好吧，第二个问题立刻出现了。
对于形如sin(\omega x)的三角函数，我们也是无法做傅里叶变换的啊！它里边显然有频率成分存在吧，你这个理论说不通啊！
注：事实上，所有的周期函数都不能做傅里叶变换，他们都不满足全域可积。但是他们可以截取一个周期进行变换或者被分解为傅里叶级数。
三角函数之所以无法做傅里叶变换，很显然是它在无穷处仍然是振荡的，这对我们很棘手！
我们能不能想一个办法🤔，让我们的三角函数在无穷处有一个确定的值呢？（最好是0，这样值域的无穷收敛问题也解决了）
非常好！我们发现了第二个问题！
改良傅里叶变换！
既然傅里叶变换如此不好用，那么我们就来改良一下它吧。
我们在原有的内积因子e^{-jwx}上，加一点东西；我们加上一个e^{-\alpha x}H(x)。
单位阶跃函数H(x)=\begin{cases}& 1 ,x\in (0,\infty )\\& 0,x\in (-\infty, 0)\end{cases}
你可能会觉得太突兀了，为什么就得加一个e^{-\alpha x}H(x)上来呢？
首先，这个H(x)是非常有必要的，不然这个新加的内积因子本身就不收敛，一到负半轴上就飞起来了。加一个本身就不收敛的东西来搞改良这也太扯淡了。
再说了，本来我们也是希望使用指数衰减的效果，因此去除指数爆炸就很有必要了。
接着我们来看看，我们所加的这一个e^{-\alpha x}，它究竟能为我们带来什么。
首先，我们把小学二年级就学过的幂函数拉过来试试。函数点积，准备开始！：
\int_{-\infty }^{\infty } (4x+4)e^{-\alpha x}\cdot H(x)\cdot e^{-j\omega x}dx看看傅里叶变换收敛的条件：需要原函数f(t)绝对可积；而这里的f(t)现在是几个函数的乘积。
f(t)=(4x+4)e^{-\alpha x}\cdot H(x)我们来看看它是否绝对收敛，也就能看到这个傅里叶变换存不存在了。考虑积分：
\int_{-\infty }^{\infty} (4x+4)e^{-\alpha x}\cdot H(x)dx既然有H(x)存在，负半轴的积分就都没有了意义；我们直接去掉负半轴吧。
\int_{0}^{\infty} (4x+4)e^{-\alpha x}dx=\int_{0}^{\infty} (4x+4)e^{-\alpha x}dx =\int_{0}^{\infty} 4xe^{-\alpha x}dx+\int_{0}^{\infty} 4e^{-\alpha x}dx其中：
\int_{0}^{\infty} 4xe^{-\alpha x}dx=4\int_{0}^{\infty} xe^{-\alpha x}dx =\frac{4}{-\alpha } \int_{0}^{\infty} xde^{-\alpha x}=\frac{4}{-\alpha }(xe^{-\alpha x}|_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}dx) =\frac{4}{-\alpha }(0+\frac{e^{-\alpha x}}{-\alpha}|_{0}^{\infty} )=\frac{4}{-\alpha }(0-\frac{1}{-\alpha}) =\frac{4}{-\alpha^{2}}前半部分是收敛的！再来看看后半部分：
\int_{0}^{\infty} 4e^{-\alpha x}dx=4\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}dx=4\frac{e^{-\alpha x}}{-\alpha}|_{0}^{\infty} =-\frac{4}{\alpha }也是收敛的！
也就是说，此时f(t)的全域积分收敛于：-\frac{4}{\alpha^{2}}-\frac{4}{\alpha }
那么我们的傅里叶变换也就应当存在了！我们尝试继续化简原式子：
\int_{0}^{\infty } (4x+4)e^{-\alpha x}\cdot e^{-j\omega x}dx好！到这里打住！我们观察一下这个式子！
来吧拉普拉斯
得益于我们的指数衰减因子e^{-\alpha x}H(x)，这个原函数得以变得全域收敛；我们的傅里叶变换也得以顺利进行！
指数衰减实在是太强大了，以至于几乎所有的函数（除了部分本身就是指数函数的函数）都会被压制到收敛。我们的变换得以顺利进行。
在这个式子里，还同时存在了两个指数项：e^{-\alpha x}和e^{-jwx}，我们不妨把他们合并起来，变为：e^{-\alpha x+jwx}=e^{-(\alpha +jw)x}
到这里，我们又发现，新的指数项中，含有了一个熟悉的表达：\alpha +jw。这事实上是复数域\mathbb{C}上任意一个复数z的表达。
我们直接令这个任意（实际上并不一定任意，可能存在收敛域的问题）的复数\alpha +jw为符号s。原式子即变为：
\int_{0}^{\infty } (4x+4)e^{-sx}dx对于傅里叶变换来说，原函数f(t)是：(4x+4)e^{-\alpha x}\cdot H(x)
但如果我们定义一个新的变换，它的变换因子就是我们改良过的因子e^{-jwx}\cdot e^{-\alpha x}\cdot H(x)=e^{-sx}，那么此时的原函数f(t)显然就是f(t)本身了，这样所产生出来的积分变换就变得可以跟原来的傅里叶变换同样使用。毕竟我们要研究f(t)的性质，你提前修改它可不太好。
读者应该已经看出来了，这个新的变换，也就是我们改良的傅里叶变换，实际上就是我们学过的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的定义式也自然而然地产生：\mathcal{L}(s)=\int_{0}^{\infty } f(x)e^{-sx}dx
拉普拉斯变换解决了傅里叶变换中非常重要的收敛问题，它可以对很多本来全域积分不收敛的函数进行变换了。同时，它还带来了一些新的特性。
之前，函数基只由频率成分构成。这使得一些函数无法被分析成分。但现在，变量被扩展到了完整的复数域上。通过改变因子e^{-sx}也就是改变复数s，我们甚至能够匹配函数中的指数成分。
也就是说，这一次改良不仅优化了收敛性，还丰富了我们分解的函数基，我们可匹配的参数被扩展到了整个复数域上。
因此，在很多方面，大家已经不再使用原来的傅里叶变换，而是使用后来提出的拉普拉斯变换。
比如，在微分方程的求解上，可以使用拉氏变换来转换为代数方程；这在许多控制理论课程中都有相应的使用。
下一期，来看看离散的世界，看一看积分变换如何离散地运作。