作为一名工科学生，我在大二的上学期修了一门课，它的名字叫《复变函数与积分变换》。然而，数学具有很高的提炼性和抽象性，因此相信很多同学不仅学这门课的时候云里雾里的，即便是学完甚至考试之后，仍然对其中的知识一知半解。
本篇文章会尽可能少地使用数学工具（但无法避免，数学就是最重要的工具），为读者讲解几个重要的变换 ：傅里叶变换、拉普拉斯变换、离散时间傅里叶变换、Z变换、小波变换
首先是烂大街（无论是科普、知名度还是工程应用意义上的）了的傅里叶变换，用一句话就能讲清楚该变换在做什么：通过积分变换，将时域上的信号（如果把函数视作是一种随时间变化的连续的输入信号的话）转换到频域上。以便工程师们能够窥探信号中的频率成分（哪几个赫兹的频率信号的占比是多少）
欸，这不巧了嘛，后面的几个家伙也起到了同样的作用。
那么问题来了，既然已经有了傅里叶变换，为啥还要发明后边的几个变换？
OK别急哈，慢慢把这个事情讲清楚。
首先，我们先提出一个暴论（没有严谨的数学证明或数理依据，便于理解使用的理论）：所有的单输入单输出函数可以被视作一个无穷维度的向量
这个理论也许来自泛函分析，与希尔伯特空间有一些关系；但本人写作此文章时并未系统学习相关理论，欢迎读者有自己的高见
要理解这句话，一件非常重要的事情：在某些情况下，函数和向量都可以完成变量的映射操作。对于一个向量，一个确定的下标只会得来一个确定的结果（它不是矩阵或张量）；而对于单输入单输出函数，一个确定的 输入只会有 一个确定的输出。
接着，我们知道，向量可以使用内积或点积，来计算两个向量的相似度。
对于向量\vec{a},\vec{b}，假设\vec{a}=\{a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}\}，\vec{b}=\{b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}\}
此时使用点积\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n} = C，即可得到一个常数C，由另一个公式，我们可以通过归一化C，来确定两个向量之间的相关关系\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos <\vec{a},\vec{b}>C_{normed}=\frac{C}{|\vec{a}||\vec{b}|}
此时，C的取值在(-1, 1)之间，当取值为1时，两向量完全正相关，为-1则负相关。
欸，那既然我们的单输入单输出函数也是一个向量，那它是不是也可以拿来做点积呢？
你别说，还真可以。
我们假设存在两个函数f(x),\space g(x)。我们可以将函数上的点一一对应相乘并相加，来模仿点积这一行为。具体表现为：C=…+f(-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1)+…={\sum_{n=-\infty }^{\infty }}f(n)g(n),n\in Z
看起来貌似是那么回事，不过我们的函数可是连续的！，单单只是隔单位1采样一次可远远不够！这样的话，看来只能每隔dx采样一次，才足够分辨率了！这样下去，公式会变为：C=…+f(0-dx)g(0-dx)+f(0)g(0)+f(0+dx)g(0+dx)+…={\sum_{n=-\infty }^{\infty }}f(ndx)g(ndx)dx,n\in Z
C=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx这一下，我们定义好函数的点积了，这是个大号的向量，使用积分后，事情也没那么难办。非常重要的：这个积分的结果也像向量的点积一样！表示了两个参与的函数的相关性！
不过问题总是接踵而至，哪怕只是一个最简单的单输入单输出函数，它也对应的是一个无穷维度的向量！
f(x)=x,(x>0)，不错，看上去是那么的人畜无害。然而它对应的向量是…f(x)=x,(x>0)\space \longrightarrow \vec{f}(0,0+dx,…,1,1+dx,…)
这是一个无穷维的向量！完全包含了前者的值域，如果它参与到点积中，必然会产生可怕的后果。
\vec{f}\cdot \vec{f}=0\times0+…1\times 1+…\infty \times \infty +…最终的结果不可能是收敛的！事实就是这样，如果有一个向量是无穷维的，并且在无穷远处的维度上仍然有非零值，那么这样的两个向量点积就不可能收敛。
然而，这并不意味着我们所做的工作就毫无意义了。
如果我们的f(x)g(x)在无穷远处的值就是0呢，如果他们的乘积收敛得足够快呢？那么我们不是就能够得到那个我们想要的相关性C了呢？
于是，所有的积分变换都有了一个非常强硬的要求：积分的结果必须满足绝对收敛。
狄利克雷条件告诉我们，要存在傅里叶变换，函数必须在至少一周期内是绝对可积的，不过它的语境是在 周期函数 下，事实上，我们可以把非周期函数看作周期为\infty的周期函数，则此时狄利克雷条件告诉了我们，该函数必须在整个定义域上绝对可积。
我们用公式写出来就是：\int_{-\infty }^{\infty }|f(t)e^{-jwt}| dt = C
配合我们之前的暴论，你会发现在这里，其实就是在做我们定义的函数点积，在这里，f(x)还是f(t)，而g(x)则被赋值为了e^{-jwt}，这个式子的含义，就是在进行两个函数的相似性测试，最终得到的结果C就是两个函数的相似度！通过变换不同的w，测试原函数与不同频率的相似度。
暴论也能对应上狄利克雷条件，我们知道了在傅里叶变换中，这个g(x)实际上被赋值成e^{-jwt}，而绝对值化之后有：|g(x)|=|e^{-jwt}|=1
所以此时，我们只需要原函数f(t)绝对可积即可，这正好对应上了狄利克雷条件的要求。
如果f(t)发散，不管g(x)=e^{-jwt}取哪一个函数，最终都将得到无穷的结果C=\infty，也就是这个函数对于所有频率都无穷地相似（？你自己看看这合理吗），这对于频率的分析将毫无意义。
自此我们知道了，所谓的积分变换，不过是把向量点积换了个形式摆了上来，起了个高大上的名字罢了。
下一集介绍其他的几个积分变换。