在数字信号处理的学习中，可能会遇到一些困难
在介绍完离散时间信号之后，课程会开始介绍 离散时间的傅里叶变换（DTFT）和 离散序列的Z变换。由于这两大变换都属于 时域和 频域上的转换，因此涉及到一些 复变函数 和 积分变换 的知识。
本文章即用于极可能快且无偏地向我自己，还有阅读本文章的人补充之前已经学过的复变函数知识。
接下来马上开始。
OK Start一.复数列极限
对于复数 z构成的复数列，如果其也存在极限\lim_{n \to \infty} \alpha_{n}=C ，则该 复数列 收敛 于 C
当然，也可以拆成\alpha_{n}=a_{n} +ib_{n}的形式，当他们分别收敛的时候，则该数列收敛
数列判敛
可以使用比较判别法、比值判别法、开根号判别法、实部虚部分开判别法 等等
二.复函数级数
如果一个级数，它的每一项都是一个复变函数，那么他就是一个复函数项级数，记作\sum_{n=a}^{b} u_{n}(z)。
举个例子：如果有一个级数，它的通项u_{n}(z)为z^{n}
那么就会有复级数： \sum_{n=0}^{\infty} u_{n}(z) = 1 + z^{1} + z^{2} + …+ z^{n}
如果我们代入 z=C ，此时 \sum_{n=0}^{\infty} u_{n}(z) 的值存在，那么称该级数在 C 处收敛。
但此时此刻，我们又注意到：由等比数列求和公式： S_{n}=\frac{a_{1}+(1-q^{n})}{1-q}
或者由幂级数的泰勒展开反推的幂级数求和公式： \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+…+x^{n}=\frac{1}{1-x},\space x\in (-1,1)
我们可以将这个复变级数求和成为一个拥有收敛域的复函数： \sum_{n=0}^{\infty} u_{n}(z) = \frac{1}{1-z} , \space \left | x \right | \in (-1, 1)
阿贝尔定理
对于形如： \sum_{n=0}^{\infty} C_{n}z^{n}
如果复级数在 z_{0} 处收敛，则 |z| < z_{0} 处都收敛；在 z_{1} 处发散，则 |z| > z_{1} 处都发散；
接下来，记忆一些常用的泰勒展开
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+…+x^{n}=\frac{1}{1-x},\space x\in (-1,1) ，
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}-…+(-1)^{n}x^{n}=\frac{1}{1+x},\space x\in (-1,1) ，
三.离散时间信号的傅里叶变换
通过复卷积，我们可以把离散时间信号从时域映射到频域上
我们利用傅里叶的离散点积因子 e^{-jwn} ，完成复点积操作，得到频域上的函数 X(e^{jw}) ：
X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-jwn}完蛋了，讲到这里直接懵逼了是吧。
怎么说呢，如果想理解傅里叶变换（所有形式的傅里叶变换！包括傅里叶级数、FT、DFT、FFT、DTFT等等），首先你得知道傅里叶变换在干什么。
有很多视频讲解过这个问题，其中有几个博主讲得比较好的，之后会贴在这里。
傅里叶变换的本质，是通过函数点积的方式，评估两个函数的相关性。而使用复变函数来作为点积因子有诸多好处，例如：得益于欧拉公式，仍然能产生频谱；能反映信号相位情况；能产生包络线而非震荡线。
傅里叶变换的公式： \int_{-\infty }^{+\infty } f(t)e^{-jwt}dt
当 f(t) 为周期函数时，由于正交性，绝大多数 w 的取值（比如取值为 w_{0} ，使得因子为 e^{jw_{0}t} ）都将在卷积后得到0。只有少数的时候，当w正好取到组分频率时，才会产生取值。这会导致频谱是一个广义函数。或者说它是由一个或数个冲激函数C\delta(t)组成的函数。此时得到的频谱函数仍然是连续的（因为冲激函数是连续的），但可以被视作是离散的。
挖个坑，后面会具体讨论各种变换，在这里，我们只局限于DSP课程本身。
因此，我们就能够理解DTFT了。它也是傅里叶变换家族中的其中一种。使用DTFT所产生的频谱图是一个连续的频谱图。并且同样用于表征该函数的频率特性。
DTFT需要序列满足绝对可和，即：
当 \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)e^{-jwn}|=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)||e^{-jwn}| =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|\times 1=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|<\infty此时，才有 X(e^{jw})存在。
很简单，上面的式子就可以看出来，如果序列不是绝对可和的（发散了），那么无论w取什么值，函数点积都将在复平面上被映射为的无穷远点，这将使得所做的变换失去了任何意义。（一个只由无穷远点组成的函数无法反映任何特征。）
同样，我们当然也就可以通过给定一个因子，来反向完成频域到时域的映射了。这是逆DTFT（IDTFT）：
x(n) = \int_{-\pi }^{+\pi } X(e^{jw})e^{jwm}dw